只是完成一次普通家庭作業(yè)，就把困擾了數(shù)學家們幾十年的猜想搞出了新花樣?!

沒錯，這是來自牛津大學的Thomas Bloom的親身經(jīng)歷。

在一次閱讀小組的論文分享上，他被要求解讀一篇2003年發(fā)表在《數(shù)學年刊》上的經(jīng)典論文。

這篇論文證明了一個與“最古老數(shù)學問題”埃及分數(shù)有關(guān)的猜想。

簡單來說，猜想認為：將大于1的整數(shù)任意分成有限個子集，必然有一個子集中的部分整數(shù)倒數(shù)加起來為1，例如只要有一個子集中有2、3、6，就有1 = 1/2 + 1/3 + 1/6。

這一猜想被命名為Erd?s-Graham猜想。

然而，這版2003年的證明還有很多待解決的疑惑：

Thomas Bloom在解讀論文的過程中，也發(fā)現(xiàn)這版證明對子集的要求有點高，很多特殊情況下沒辦法成立。

再仔細一看，他突然發(fā)現(xiàn)，這版證明還存在著可以繼續(xù)改善的地方!

于是借著這次交作業(yè)的機會，Thomas Bloom在這篇論文的基礎(chǔ)上提出了一種“強化版”證明思路，整個過程甚至只用了幾周時間。

就連數(shù)論領(lǐng)域著名學者、蒙特利爾大學教授Andrew Granvill都感嘆這種做法的不可思議：此前我只是覺得，這是一個不可能被解決的問題，任何頭腦正常的人都沒法做到。

所以，這一猜想究竟是什么，Bloom的證明方法又究竟“不可思議”在哪里?

一個與“最古老數(shù)學問題”有關(guān)的猜想

在數(shù)學里，任意有理數(shù)都可以表示成分數(shù)，且分子分母都是整數(shù)。

但是在3000多年前的古埃及，他們的分數(shù)只有分子為1一種情況，我們現(xiàn)在叫它單位分數(shù)。

也就是說，他們的字典里沒有“3/4”這類東西，因為3/4也需要被寫成1/4+1/2。

古埃及的文字里，一只眼睛下面放一個數(shù)字就代表了一個單位分數(shù)。

從1到100萬都有相應(yīng)的圖形。

雖然它和我們現(xiàn)在的數(shù)學相去甚遠，但其實所有分數(shù)都可以寫成單位分數(shù)之和的形式。

因此這種表示方法被稱作古埃及分數(shù)。

顯然，1也可以寫成古埃及分數(shù)：1 = 1/2 + 1/3 + 1/6。

這個看似簡單的問題經(jīng)久不衰，1970年代，著名數(shù)學家Paul Erd?s和Ronald Graham提出了一個關(guān)于古埃及分數(shù)的猜想：把正整數(shù)劃分成若干個子集，那么必然有一個子集中存在一組數(shù)，可以把1表示成古埃及分數(shù)形式。

比如上面的1 = 1/2 + 1/3 + 1/6，某個子集中包含這2、3、6這三個數(shù)，就可以做到。

那么如果很不巧，2、3、6被分配到不同的子集中，還可以把1拆成古埃及分數(shù)形式嗎?

其實也是可以的，包含{2、3、12、18、36}一組整數(shù)也行：

表示1的方法千千萬，總有符合條件一組數(shù)滿足條件。

達特茅斯學院的數(shù)論學者Carl Pomerance對此評價道：“這可能是有史以來最古老的問題。”

沒想到的是，這個最古老的問題最近又發(fā)出新芽。

來自牛津大學的數(shù)學家Thomas Bloom最近不但提出了比Erd?s更厲害的“強化版”，還親自證明了它。

幾周就證明了一個“加強版”

那篇近20年前的論文，由一位名叫Ernie Croot的數(shù)學家撰寫，2003年發(fā)表在數(shù)學領(lǐng)域頂級期刊《數(shù)學年刊》上。

他解決Erd?s-Graham問題的“基礎(chǔ)版本”。

把所有整數(shù)隨機分配到不同的桶里，至少有一個桶必須包含一組整數(shù)，其倒數(shù)和等于1。

Bloom仔細閱讀后發(fā)現(xiàn)，Croot的方法實際上比最初看起來更強大：“所以我研究了幾周，這個更強大的結(jié)果就出來了。”

Bloom給出的結(jié)論是，并不需要把整數(shù)分成若干個有限集合，只要集合滿足“正密度”的條件，那么這個集合就存在一組整數(shù)倒數(shù)和為1。

所謂“正密度”是指某一組整數(shù)在全體正整數(shù)里所占的比例，比如偶數(shù)的密度是0.5。

假如有一組整數(shù)集合記作A，在前n項中不大于n的項記作α，當n趨于無窮大時，α/n極限就是叫做A的自然密度。

而Bloom提出而條件是密度大于零即可，無論這個密度多低(10%、1%、0.0001%甚至更低)，這顯然比把整數(shù)分成有限份的條件更加苛刻。

嗯，充分說明哪怕是“讀論文”這種科研作業(yè)，也要認真一點，說不定讀著讀著靈感就來了(手動狗頭)

作者介紹

Thomas Bloom，目前在牛津大學進行數(shù)學方面的研究工作，獲得過英國皇家學會大學研究金，后者專門用于給各領(lǐng)域杰出年輕科學家提供科研資金。

Bloom曾于布里斯托大學獲得博士學位，并在劍橋大學進行過博士后相關(guān)工作，本科畢業(yè)于牛津大學數(shù)學與哲學專業(yè)。

在進行這項研究之前，他也曾經(jīng)和獲得過“數(shù)論界最高獎”柯爾獎的牛津大學教授James Maynard合作，完成過一篇關(guān)于無方差集的論文。

One More Thing

對于任意有理數(shù)，我們都可以用簡單的算法找到古埃及分數(shù)表示。

最常用的便是貪心算法。

以7/15為例，我們先找到最接近它的單位分數(shù)1/3，得到：

7/15 = 1/3 + 2/15

接著尋找最接近剩余項2/15的單位分數(shù)，即1/8。依次類推，直到剩余項也是單位分數(shù)為止。

7/15 = 1/3 + 1/8 + 1/120

怎么尋找最接近的單位分數(shù)呢?將分母除以分子并向上取整即可。

以下是Python版的代碼：

你能寫出其他語言的版本，或是寫出其他古埃及分數(shù)算法的代碼嗎?