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科學(xué)家成功證明凱勒幾何兩大核心猜想 為非線性方程提供深刻洞見(jiàn)

來(lái)源：科技日?qǐng)?bào) ? 2021-11-02 16:30:31

記者從中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)獲悉，該校幾何物理中心創(chuàng)始主任陳秀雄教授與合作者程經(jīng)睿在偏微分方程和復(fù)幾何領(lǐng)域取得“里程碑式結(jié)果”，他們解出了一個(gè)四階完全非線性橢圓方程，成功證明“強(qiáng)制性猜想”和“測(cè)地穩(wěn)定性猜想”這兩個(gè)國(guó)際數(shù)學(xué)界60多年懸而未決的核心猜想，解決了若干有關(guān)凱勒流形上常標(biāo)量曲率度量和卡拉比極值度量的著名問(wèn)題。兩篇論文日前發(fā)表于國(guó)際著名刊物《美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)雜志》。

凱勒流形上常標(biāo)量曲率度量的存在性，是過(guò)去60多年來(lái)幾何中的核心問(wèn)題之一。關(guān)于其存在性，有三個(gè)著名猜想——穩(wěn)定性猜想、強(qiáng)制性猜想和測(cè)地穩(wěn)定性猜想。經(jīng)過(guò)近20年眾多著名數(shù)學(xué)家的工作，強(qiáng)制性猜想和測(cè)地穩(wěn)定性猜想中的必要性已變得完全清晰，但其充分性的證明在陳-程的工作之前被認(rèn)為遙不可及，就如同不帶任何裝備攀登高峰一般艱難。

求出一類(lèi)四階完全非線性橢圓方程的解，就能證明常標(biāo)量曲率度量的存在性。陳-程的工作恰恰就是在K-能量強(qiáng)制性或測(cè)地穩(wěn)定性的假設(shè)下，證明了這類(lèi)方程解的存在。這類(lèi)方程的研究極為困難，長(zhǎng)期以來(lái)業(yè)內(nèi)專(zhuān)家普遍不相信會(huì)有一個(gè)令人滿意的存在性理論。 以至于業(yè)內(nèi)專(zhuān)家認(rèn)為，求解一類(lèi)四階完全非線性橢圓方程，此前就如同一塊無(wú)形的幕墻擋在數(shù)學(xué)家面前，陳-程的工作就是在幕墻上“掏了一個(gè)洞”，在毫無(wú)征兆的情況下找到一個(gè)突破口，不僅求出了方程的解，而且建立了一套系統(tǒng)研究此類(lèi)方程的方法，為探索未知的數(shù)學(xué)世界提供了一種新工具。此外，他們還給出了環(huán)對(duì)稱(chēng)凱勒流形上穩(wěn)定性猜想的證明，將唐納森在環(huán)對(duì)稱(chēng)凱勒曲面上的經(jīng)典定理推廣到了高維，并對(duì)一般穩(wěn)定性猜想的證明提出可能的解決方案，讓一般穩(wěn)定性猜想的完全解決成為可能。

審稿人評(píng)價(jià)，“陳-程的突破性工作原創(chuàng)性極高、技術(shù)艱深，不僅解決了凱勒幾何中重大難題，也為此類(lèi)非線性方程提供了深刻的洞見(jiàn)?？梢灶A(yù)見(jiàn)，這一系列論文將成為幾何與偏微分方程領(lǐng)域的經(jīng)典之作。”

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